Како пронаћи корене полинома

Садржај

• Колико коријена?
• Упозорења
• Пронађите корене факторингом: Пример 1
• Пронађите корене факторингом: Пример 2
• Пронађите коријене графичким приказом

Корени полинома се називају и његове нуле, јер су корени Икс вредности код којих је функција једнака нули. Када је у питању проналажење коријена, на располагању имате више техника; факторинг је метода коју ћете најчешће користити, мада и графицирање може бити корисно.

Колико коријена?

Испитајте полином највећег степена - то је термин са највишом експонентом. Та експонента је колико ће коријена имати полином. Дакле, ако је највећа експонента у вашем полиному 2, она ће имати два корена; ако је највећа експонента 3, она ће имати три корена; и тако даље.

Упозорења

Пронађите корене факторингом: Пример 1

Најосвестранији начин проналажења коријена је факторинг вашег полинима што је више могуће и постављање сваког термина једнаког нули. Ово има много више смисла након што прођете кроз неколико примера. Размотримо једноставан полином Икс² - 4_к: _

Кратак преглед показује да можете узети у обзир Икс из оба термина полинома, што вам даје:

Икс(Икс – 4)

Сваки термин подесите на нулу. То значи решење за две једначине:

Икс = 0 је први појам постављен на нулу, и

Икс - 4 = 0 је други појам постављен на нулу.

Већ имате решење за први мандат. Ако Икс = 0, тада је цео израз једнак нули. Тако Икс = 0 је један од корена или нула полинома.

Сада размислите о другом термину и решите се Икс. Ако додате 4 на обе стране имаћете:

Икс - 4 + 4 = 0 + 4, што поједностављује:

Икс = 4. Дакле, ако Икс = 4, онда је други фактор једнак нули, што значи да је и цели полином једнак нули.

Пошто је оригинални полином био другог степена (највиша експонента била два), знате да за овај полином постоје само два могућа корена. Обоје сте их већ нашли, тако да их све морате навести:

Икс = 0, Икс = 4

Пронађите корене факторингом: Пример 2

Ево још једног примера како пронаћи корене факторингом, користећи неку маштовиту алгебру на путу. Размотримо полином Икс⁴ - 16. Брзи поглед на његове експоненте показује вам да би за овај полином требало да постоје четири коријена; сада је време да их пронађемо.

Да ли сте приметили да се овај полином може преписати као разлика квадрата? Па уместо тога Икс⁴ - 16, имате:

(Икс²)² – 4²

Који, користећи формулу за разлику квадрата, изазива следеће:

(Икс² – 4)(Икс² + 4)

Први израз је, опет, разлика у квадратима. Дакле, иако не можете даље да чините фактор на десној страни, можете да га факторирате на левој страни још један корак:

(Икс – 2)(Икс + 2)(Икс² + 4)

Сада је време да нађемо нулу. Брзо постаје јасно да ако Икс = 2, први фактор ће бити једнак нули, а самим тим и цео израз једнак нули.

Слично томе, ако Икс = -2, други фактор ће бити једнак нули, а самим тим и цео израз.

Тако Икс = 2 и Икс = -2 су обе нулте или корени овог полинома.

Али шта је са последњим мандатом? Пошто има експонент "2", требало би да има два корена. Али не можете факторисати овај израз користећи стварне бројеве на које сте навикли. Морали бисте користити врло напредни математички концепт који се назива имагинарни бројеви или, ако више желите, сложени бројеви. То је далеко изван опсега ваше тренутне математичке праксе, тако да је за сада довољно напоменути да имате два права коријена (2 и -2) и два имагинарна коријена која ћете оставити недефинисанима.

Пронађите коријене графичким приказом

Коријене такођер можете пронаћи, или барем процијенити, коријењем. Сваки корен представља место где граф функције прелази преко Икс ос. Дакле, ако исцртате линију и бележите Икс координате гдје линија прелази Икс осе, можете да убаците процењену Икс вредности тих тачака у вашој једначини и проверите да ли сте их схватили тачним.

Размотрите први пример који сте радили за полином Икс² - 4_к_. Ако је пажљиво извучете, видећете да линија прелази преко Икс осовина на Икс = 0 и Икс = 4. Ако сваку од ових вредности унесете у оригиналну једнаџбу, добићете:

0² - 4 (0) = 0, дакле Икс = 0 је важна нула или корен за овај полином.

4² - 4 (4) = 0, дакле Икс = 4 је такође валидна нула или корен за овај полином. А зато што је полином био степена 2, знате да можете престати да тражите два корена.