Садржај
У математици се понекад јавља потреба да се докаже да ли су функције линеарне и зависне једна од друге у линеарном смислу. Ако имате две функције које су линеарно зависне, графички приказ једнаџби тих функција резултира у тачкама које се преклапају. Функције са независним једначинама се не преклапају када се гравирају. Једна метода утврђивања да ли су функције зависне или независне је израчунавање Вронскиана за функције.
Шта је Вронскиан?
Вронскиан са две или више функција је оно што је познато као одредница, што је посебна функција која се користи за упоређивање математичких објеката и доказивање одређених чињеница о њима. У случају Вронскоган-а, одредница се користи да би се доказала зависност или независност између две или више линеарних функција.
Вронскиан Матрик
Да би се израчунао Вронскиан за линеарне функције, функције се морају решити за исту вредност у матрици која садржи и функције и њихове деривате. Пример за то је В (ф, г) (т) = | фф((тт)) гг((тт)) |, који Вронскиану пружа две функције (ф и г) које су решене за једну вредност која је већа од нуле (т); две функције ф (т) и г (т) можете видети у горњем реду матрице, а деривате ф (т) и г (т) у доњем реду. Имајте на уму да се Вронскиан може користити и за веће сетове. Ако, на пример, тестирате три функције с Вронскиманом, тада можете да попуните матрицу са функцијама и дериватима ф (т), г (т) и х (т).
Решавање Вронскоган-а
Једном када су функције распоређене у матрици, умножите сваку функцију на дериват друге функције и одузмите прву вредност од друге. На пример изнад, ово вам даје В (ф, г) (т) = ф (т) г (т) - г (т) ф (т). Ако је коначни одговор једнак нули, то показује да су две функције зависне. Ако је одговор нешто друго него нула, функције су независне.
Вронскиан Екампле
Да бисте добили бољу представу о томе како ово ради, претпоставите да је ф (т) = к + 3 и г (т) = к - 2. Користећи вредност т = 1, можете решити функције као ф (1) = 4 и г (1) = -1. Како су ово основне линеарне функције са нагибом од 1, деривати и ф (т) и г (т) су једнаки 1. Укрштањем множења ваших вредности даје се В (ф, г) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), што даје крајњи резултат 5. Иако обје линеарне функције имају исти нагиб, оне су неовисне јер се њихове точке не преклапају. Да је ф (т) произвео резултат -1 уместо 4, Вронскиан би дао резултат нула уместо да укаже на зависност.