Садржај
- Пронађите средишњи угао из дужине и обода лука
- Пронађите средишњи угао из дужине и радијуса лука
- Теорем централног угла
- Изузетак од теорема централног угла
- Визуализујте
Замислите да стојите усред савршено кружне арене. Гледате према гужви уз бок арене и на једном месту угледате свог најбољег пријатеља и средњошколског наставника математике у неколико секција. Каква је удаљеност између њих и тебе? Колико бисте далеко морали да пређете да бисте путовали од свог пријатеља до седишта учитеља? Које су мере углова између вас? То су све питања која се односе на централне углове.
А централни угао је угао који настаје када се два полумјера повуку из центра круга у његове ивице. У овом примеру, два радијуса су ваше две линије вида од вас, у средишту арене, вашег пријатеља, и ваша линија вида према вашем учитељу. Угао који настаје између ове две линије је централни угао. Његов угао најближи средини круга.
Ваш пријатељ и ваш наставник седе поред вас обим или ивице круга. Пут дуж арене која их повезује је ан лук.
Пронађите средишњи угао из дужине и обода лука
Постоји неколико једначина помоћу којих можете пронаћи централни угао. Понекад ћете добити Дужина лука, удаљеност дуж обима између две тачке. (На пример, ово је удаљеност коју бисте морали да пређете око арене да бисте добили пријатеља од свог учитеља.) Однос између централног угла и дужине лука је:
(дужина лука) ÷ обод = (средишњи угао) ÷ 360 °
Централни угао ће бити у степенима.
Ова формула има смисла ако размислите. Дужина лука од укупне дужине око круга (обим) једнака је пропорцији као и угао лука изван укупног угла у кругу (360 степени).
Да бисте ефикасно користили ову једначину, морате знати обим круга. Али можете да користите и ову формулу за проналажење дужине лука ако знате централни угао и обим. Или, ако имате дужину лука и централни угао, можете пронаћи обод!
Пронађите средишњи угао из дужине и радијуса лука
Такође можете да користите централни угао радијуса и дужину лука. Назовите меру централног угла θ. Онда:
θ = с ÷ р, где је с дужина лука и р је полумјер. θ се мери у радијанима.
Опет, можете да преуредите ову једначину у зависности од информација које имате. Можете да пронађете дужину лука из радијуса и централног угла. Или можете пронаћи радијус ако имате централни угао и дужину лука.
Ако желите дужину лука, једначина изгледа овако:
с = θ * р, где је с дужина лука, р је полумјер, а θ је средишњи угао у радијанима.
Теорем централног угла
Хајде да додамо заокрет вашем примеру где сте били у арени са својим комшијом и учитељем. Сад је трећа особа коју познајете у арени: ваш комшија. И још једна ствар: Они су иза вас. Морате се окренути да их видите.
Ваш комшија је отприлике преко арене од вашег пријатеља и вашег учитеља. Са гледишта ваших комшија, угао је формиран њиховим очима погледа према пријатељу и њиховим видом према учитељу. То је названо уписаним углом. Ан уписани угао је угао формиран од три тачке дуж опсега круга.
Теорем централног угла објашњава однос између величине централног угла коју сте формирали и уписаног угла коју је створио ваш комшија. Тхе Теорем централног угла наводи да централни угао је двоструко већи од уписаног угла. (Ово претпоставља да користите исте крајње тачке. И гледате и учитеља и пријатеља, а не било кога другог).
Ту је још један начин да се напише. Назовимо своје пријатеље А, место учитеља Б и комшије Ц. То сте ви у центру.
Дакле, за три тачке А, Б и Ц дуж обима круга и тачке О у центру, централни угао ∠АОЦ је два пута већи од уписаног угла ∠АБЦ.
То је, ∠АОЦ = 2∠АБЦ.
Ово има смисла. Ближи сте пријатељу и учитељу, па вам се чине даље (већи угао). На вашег комшију с друге стране стадиона они изгледају много ближе (мањи угао).
Изузетак од теорема централног угла
А сада, пребацимо ствари нагоре. Ваш комшија с друге стране арене почиње да се креће! Још увек имају вид пријатеља и учитеља, али линије и углови се померају док се комшија креће. Погодите шта: Док комшија остане изван лука између пријатеља и комшије, теорема централног угла још увек важи!
Али шта се догађа када се комшија помери између пријатеља и учитеља? Сада је ваш комшија унутра мањи лук, релативно мала удаљеност између пријатеља и учитеља у односу на већу удаљеност око остатка арене. Тада достижете изузетак од теорема централног угла.
Тхе изузетак од теорема централног угла каже да када се тачка Ц, комшија, налази у мањем луку, уписани угао је додатак половини централног угла. (Не заборавите да је угао и његов додатак додати на 180 степени.)
Тако: уписани угао = 180 - (централни угао ÷ 2)
Или: ∠АБЦ = 180 - (ОЦАОЦ ÷ 2)
Визуализујте
Отворена референца математике има алат за визуелизацију теорема централног угла и њеног изузећа. Морате да повучете „комшију“ у све различите делове круга и посматрате како се углови мењају. Испробајте ако желите визуелну или додатну праксу!