Садржај
- Зашто су експоненцијалне функције важне
- Од пара точака до графикона
- Једна тачка на Кс оси
- Ни тачка на оси Кс
- Пример из стварног света
Ако знате две тачке које падају на одређену експоненцијалну кривуљу, кривуљу можете дефинисати решавањем опште експоненцијалне функције помоћу тих тачака. У пракси то значи замену тачака за и и к у једначини и = абИкс. Процедура је лакша ако је к-вредност за једну од тачака 0, што значи да је тачка на и-оси. Ако ниједна тачка нема нулу к-вредности, поступак решавања за к и и је тад сложенији.
Зашто су експоненцијалне функције важне
Многи важни системи следе експоненцијалне обрасце раста и пропадања. На пример, број бактерија у колонији обично се експоненцијално повећава, а амбијентално зрачење у атмосфери након нуклеарног догађаја обично експоненцијално опада. Узимањем података и цртањем кривуље, научници су у бољој позицији да прогнозирају.
Од пара точака до графикона
Било која тачка на дводимензионалном графикону може се представити са два броја, која се обично пишу у облику (к, и), где к дефинише хоризонталну удаљеност од порекла и и представља вертикалну удаљеност. На пример, тачка (2, 3) је две јединице десно од оси и и три јединице изнад оси к. С друге стране, тачка (-2, -3) је две јединице лево од оси и. и три јединице испод оси к.
Ако имате две тачке, (к1, и1) и (к)2, и2), можете дефинирати експоненцијалну функцију која пролази кроз те тачке замјеном у једнаџбу и = абИкс и решавање за а и б. Генерално, морате да решите овај пар једначина:
и1 = абк1 и и2 = абк2, .
У овом облику, математика изгледа мало компликовано, али изгледа мање тако након што сте урадили неколико примера.
Једна тачка на Кс оси
Ако је једна од к-вредности - рецимо к1 - је 0, операција постаје веома једноставна. На пример, решавањем једначине за тачке (0, 2) и (2, 4) добија се:
2 = аб0 и 4 = аб2. Откад знамо да је б0 = 1, прва једначина постаје 2 = а. Замјеном а у другој једначини добива се 4 = 2б2, које поједностављујемо на б2 = 2, или б = квадратни корен од 2, што је приближно 1,41. Тада је дефинирајућа функција и = 2 (1,41)Икс.
Ни тачка на оси Кс
Ако ни једна вредност к није једнака, рјешавање пара једначина је нешто незграпније. Хеноцхматх нас води кроз једноставан пример да разјаснимо овај поступак. У свом примеру одабрао је пар тачака (2, 3) и (4, 27). Ово даје следећи пар једначина:
27 = аб4
3 = аб2
Ако прву једнаџбу поделите са другом, добићете
9 = б2
па је б = 3. Могуће је да и б буде једнак -3, али у овом случају претпоставите његову позитивну.
Ову вредност за Б можете заменити у било којој једначини да бисте добили а. Једноставније је користити другу једначину, тако да:
3 = а (3)2 што се може поједноставити на 3 = а9, а = 3/9 или 1/3.
Једнаџба која пролази кроз ове тачке може се записати као и = 1/3 (3)Икс.
Пример из стварног света
Од 1910. године, раст људске популације био је експоненционалан, а цртањем кривуље раста научници су у бољој позицији да прогнозирају и планирају будућност. Године 1910. светска популација је била 1,75 милијарди, а 2010. године 6,87 милијарди. Узимајући 1910. годину као почетну тачку, ово даје пар бодова (0, 1.75) и (100, 6.87). Пошто је к вредност прве тачке једнака нули, лако можемо да пронађемо а.
1,75 = аб0 или а = 1.75. Укључивањем ове вредности, заједно са вредностима друге тачке, у општу експоненцијалну једначину настаје 6,87 = 1,75б100, што даје вредност б као стоти коријен 6,87 / 1,75 или 3,93. Тако једначина постаје и = 1,75 (стоти коријен 3,93)Икс. Иако је за то потребно више од правила за дијапозитиве, научници могу помоћу ове једначине да пројектују будуће бројеве становништва како би помогли политичарима у садашњости да створе одговарајуће политике.