Садржај
- Дефиниција неједнакости апсолутне вредности
- Како решити апсолутну неједнакост вредности
- Апсолутне неједнакости вредности без решења
- Интервал нотација
Решавање неједнакости апсолутних вредности много је слично решавању једнаџби апсолутних вредности, али треба имати на уму неколико додатних детаља. Помаже вам да већ будете удобни у решавању једнаџби апсолутних вредности, али у реду је и ако их заједно учите!
Дефиниција неједнакости апсолутне вредности
Пре свега, ан апсолутна вредност неједнакост је неједнакост која укључује израз апсолутне вредности. На пример,
| 5 + Икс | - 10> 6 је апсолутна неједнакост вредности, јер има знак неједнакости,> и израз апсолутне вредности, | 5 + Икс |.
Како решити апсолутну неједнакост вредности
Тхе кораци ка решавању апсолутне вредности неједнакости слични су корацима за решавање једначења апсолутне вредности:
Корак 1: Изолирајте израз апсолутне вредности на једној страни неједнакости.
Корак 2: Решите позитивну "верзију" неједнакости.
3. корак: Решите негативну „верзију“ неједнакости тако што ћете множити количину са друге стране неједнакости са −1 и преокренути знак неједнакости.
То је пуно тога што требате узети одједном, па ево примера који ће вас провести кроз кораке.
Решите неједнакост за Икс: | 5 + 5_к_ | - 3> 2.
Да бисте то урадили, набавите | 5 + 5_к_ | сама са леве стране неједнакости. Све што требате учинити је додати 3 на сваку страну:
| 5 + 5_к_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_к_ | > 5.
Сада постоје две „верзије“ неједнакости које морамо да решимо: позитивна „верзија“ и негативна „верзија“.
За овај корак, претпоставите да су ствари онакве какве изгледају: да је 5 + 5_к_> 5.
| 5 + 5_к_ | > 5 → 5 + 5_к_> 5.
Ово је једноставна неједнакост; само се мораш решити Икс као и обично. Одузмите 5 са обе стране, а затим обе стране поделите са 5.
5 + 5_к_> 5
5 + 5_к_ (- 5)> 5 (- 5) (одузми пет са обе стране)
5_к_> 0
5_к_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (поделите обе стране са пет)
Икс > 0.
Није лоше! Дакле, једно од могућих решења наше неједнакости је то Икс > 0. Сада, с обзиром на то да су укључене апсолутне вредности, његово време разматра другу могућност.
Да бисте разумели овај наредни залога, помаже вам да запамтите шта значи апсолутна вредност. Апсолутна вредност мери број удаљености од нуле. Растојање је увек позитивно, тако да је 9 удаљено девет нула од нуле, али −9 је такође девет јединица удаљено од нуле.
Дакле | 9 | = 9, али | −9 | = 9 такође.
Сада се вратимо на горњи проблем. Горе наведени рад је показао да | 5 + 5_к_ | > 5; другим речима, апсолутна вредност "нечега" већа је од пет. Сада ће сваки позитивни број већи од пет бити даље од нуле него пет. Дакле, прва опција је била да је "нешто", 5 + 5_к_, веће од 5.
То је: 5 + 5_к_> 5.
То је сценарио решен горе, у 2. кораку.
Сад размислите мало даље. Шта је још пет јединица удаљено од нуле? Па, негативна пет је. А било шта даље дуж броја броја од негативне пет ће бити још даље од нуле. Дакле, наше „нешто“ могло би бити негативан број који је даље од нуле него негативне пет. То значи да би то био већи звук, али технички гледано мање од негативна пет јер се креће у негативном правцу на линији броја.
Дакле, наше „нешто“, 5 + 5к, могло би бити мање од –5.
5 + 5_к_ <−5
Брзи начин да се то алгебрично учини јест умножавање количине на другој страни неједнакости, 5, с негативном, а затим пребацивање знака неједнакости:
| 5 + 5к | > 5 → 5 + 5_к_ <- 5
Затим решите као и обично.
5 + 5_к_ <-5
5 + 5_к_ (−5) <−5 (- 5) (одузми 5 са обе стране)
5_к_ <−10
5_к_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
Икс < −2.
Дакле, могућа су решења неједнакости Икс > 0 или Икс <−2. Проверите се укључивањем неколико могућих решења како бисте били сигурни да неједнакост и даље важи.
Апсолутне неједнакости вредности без решења
Постоји сценарио где би то било нема решења за апсолутну неједнакост вредности. Пошто су апсолутне вредности увек позитивне, не могу бити једнаке или мање негативних бројева.
Дакле | Икс | <−2 има није решење јер исход апсолутне вредности израза мора бити позитиван.
Интервал нотација
Да напишемо решење за наш главни пример у интервал нотација, размислите о томе како решење изгледа на бројчаној линији. Наше решење је било Икс > 0 или Икс <−2. На бројчаној линији, то је отворена тачка на 0, са линијом која се протеже до позитивне бесконачности, а отворена тачка на −2, са линијом која се протеже до негативне бесконачности. Ова решења су усмерена једни према другима, а не један према другом, па узмите сваки део посебно.
За к> 0 на бројчаној линији, отвара се тачка на нули, а затим линија која се протеже до бесконачности. У интервалном запису, отворена тачка је илустрована заградама, (), а затворена тачка или неједнакости са ≥ или ≤ би користиле заграде,. Па за Икс > 0, напиши (0, ∞).
Друга половина, Икс <−2, на бројчаној линији је отворена тачка на −2, а затим стрелица која се протеже све до −∞. У интервалним нотацијама, то је (−∞, −2).
"Или" у интервалном запису је знак уније, ∪.
Дакле, решење у запису интервала је (∞, −2) ∪ (0, ∞).