Како поједноставити сложене бројеве

Садржај

• ТЛ; ДР (Предуго; нисам прочитао)
• Шта је сложен број?
• Основна правила за алгебру са сложеним бројевима
• Дељење сложених бројева
• Поједностављивање сложених бројева

Алгебра често укључује поједностављивање израза, али неки изрази су збуњујући за обраду од других. Сложени бројеви укључују количину познату као ја, „имагинарни“ број са производом ја = √ − 1. Ако морате једноставно израз који садржи сложени број, може изгледати застрашујуће, али то је прилично једноставан поступак након што научите основна правила.

ТЛ; ДР (Предуго; нисам прочитао)

Поједноставите сложене бројеве следећи правила алгебре са сложеним бројевима.

Шта је сложен број?

Сложени бројеви су дефинисани њиховим укључивањем ја израз, који је квадратни корен од минус један. У математици на основном нивоу, квадратни корени негативних бројева заиста не постоје, али се повремено појављују у проблемима с алгебром. Општи образац за сложен број показује њихову структуру:

з = а + би

Где з означава сложен број, а представља било који број (који се назива „стварни“ део), и б представља још један број (назван „имагинарни“ део), који оба могу бити позитивни или негативни. Дакле, примјер сложеног броја је:

з = 2 −4_и_

Пошто се сви квадратни корени негативних бројева могу представити вишеструким ја, ово је образац за све сложене бројеве. Технички гледано, регуларни број управо описује посебан случај сложеног броја где б = 0, па би се сви бројеви могли сматрати сложеним.

Основна правила за алгебру са сложеним бројевима

За додавање и одузимање сложених бројева једноставно додајте или одузмите стварне и имагинарне делове одвојено. Дакле за сложене бројеве з = 2 - 4_и_ и в = 3 + 5_и_, збир је:

з + в = (2 - 4_и_) + (3 + 5_и_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)ја

= 5 + 1_и_ = 5 + ја

Одузимање бројева функционише на исти начин:

з − в = (2 - 4_и_) - (3 + 5_и_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)ја

= −1 - 9_и_

Умножавање је још једна једноставна операција са сложеним бројевима, јер делује као обично множење, осим што то морате да запамтите ја² = −1. Дакле, израчунати 3_и_ × −4_и_:

3_и_ × −4_и_ = −12_и_²

Али како ја²= −1, тада:

−12_и_² = −12 ×−1 = 12

Са пуним сложеним бројевима (користећи з = 2 - 4_и_ и в = 3 + 5_и_ поново), множите их на исти начин као што бисте то учинили са обичним бројевима попут (а + б) (ц + Д), користећи методу "први, унутрашњи, спољашњи, последњи" (ФОИЛ), да бисте добили (а + б) (ц + Д) = ац + пре нове ере + оглас + бд. Све што морате запамтити је да поједноставите било који случај ја². Тако на пример:

з × в = (2 - 4_и _) (3 + 5_и_)

= (2 × 3) + (−4_и_ × 3) + (2 × 5_и_) + (−4_и_ × 5_и_)

= 6 −12_и_ + 10_и_ - 20_и_²

= 6 −2_и_ + 20 = 26 + 2_и_

Дељење сложених бројева

Дељење сложених бројева укључује множење бројача и називника уломка сложеним коњугатором називника. Сложени коњугат значи само верзију сложеног броја са замишљеним делом обрнутим у знаку. Па за з = 2 - 4_и_, сложен коњугат з = 2 + 4_и_, и за в = 3 + 5_и_, в = 3 -5_и_. За проблем:

з / в = (2 - 4_и_) / (3 + 5_и_)

Потребан је коњугат в*. Поделите бројник и називник тако да дате:

з / в = (2 - 4_и_) (3 - 5_и_) / (3 + 5_и _) (3 - 5_и_)

А онда прорадите као у претходном одељку. Бројач даје:

(2 - 4_и_) (3 −5_и_) = 6 - 12_и_ - 10_и_ + 20_и_²

= −14 - 22_и_

А називник даје:

(3 + 5_и _) (3 - 5_и_) = 9 + 15_и_ - 15_и_ −25_и_²

= 9 + 25 = 34

Ово значи:

з / в = (−14 - 22_и_) / 34

= −14/34 - 22_и_ / 34

= −7/17 - 11_и_ / 17

Поједностављивање сложених бројева

Користите горе наведена правила да бисте поједноставили сложене изразе. На пример:

з = ((4 + 2_и_) + (2 - ја)) ÷ ((2 + 2_и _) (2+ ја))

Ово се може поједноставити коришћењем правила сабирања у бројнику, правила множења у називнику, а затим попуњавањем дељења. За бројник:

(4 + 2_и_) + (2 - ја) = 6 + ја

За називник:

(2 + 2_и _) (2+ ја) = 4 + 4_и_ + 2_и_ + 2_и_²

= (4 - 2) + 6_и_

= 2 + 6_и_

Повратак ових на место даје:

з = (6 + ја) / (2 + 6_и_)

Умножавање оба дела коњугатором називника доводи до:

з = (6 + ја) (2 - 6_и_) / (2 + 6_и_) (2 - 6_и_)

= (12 + 2_и_ - 36_и_ −6_и_²) / (4 + 12_и_ - 12_и_ −36_и_²)

= (18 - 34_и_) / 40

= (9 - 17_и_) / 20

= 9/20 −17_и_ / 20

Значи то значи з поједностављује на следећи начин:

з = ((4 + 2_и_) + (2 - ја)) ÷ ((2 + 2_и _) (2+ ја)) = 9/20 −17_и_ / 20