Како израчунати сопствене вредности

Садржај

• Матрице, својствене вредности и својствени вектори: шта они значе
• Како израчунати сопствене вредности
• Савети
• Проналажење сопствених вектора

Када вам се у разреду математике или физике представи матрица, често ћете бити упитани да пронађете њене сопствене вредности. Ако нисте сигурни шта то значи или како то учинити, задатак је застрашујући и укључује много збуњујућих терминологија што ствари чини још горим. Међутим, поступак израчунавања властитих вредности није превише захтеван ако вам није пријатно решавање квадратних (или полиномних) једнаџби, под условом да научите основе матрица, својствених вредности и својствених вектора.

Матрице, својствене вредности и својствени вектори: шта они значе

Матрице су низови бројева у којима А означава назив генеричке матрице, овако:

( 1 3 )

А = ( 4 2 )

Бројеви у свакој позицији варирају, а на њиховом месту могу чак бити и алгебрични изрази. Ово је матрица 2 × 2, али долазе у разним величинама и немају увек исти број редова и ступаца.

Рад са матрицама је различит од бављења обичним бројевима, а постоје посебна правила за њихово множење, дељење, сабирање и одузимање једних од других. Изрази "својствена вредност" и "својствени вектор" користе се у матричној алгебри да би се означили две карактеристичне величине у односу на матрицу. Овај проблем сопствене вредности помаже вам да разумете шта овај термин значи:

А ∙ в = λ ∙ в

А је општа матрица као и раније, в је неки вектор, а λ је карактеристична вредност. Погледајте једнаџбу и примијетите да када множите матрицу са вектором в, ефекат је да се репродукује исти вектор који је управо помножен са вредности λ. Ово је необично понашање и зарађује вектор в и количина λ специјална имена: својствени вектор и својствена вредност. Ово су карактеристичне вредности матрице јер множење матрице са својственим вектором оставља вектор непромењен, осим множења фактором својствене вредности.

Како израчунати сопствене вредности

Ако имате проблем са својственом вредношћу за матрицу у неком облику, проналазак својствене вредности је лако (јер ће резултат бити вектор исти као изворни, осим множен константним фактором - својственом вредношћу). Одговор се проналази решавањем карактеристичне једначине матрице:

дет (А – λЈа) = 0

Где Ја је матрица идентитета, која је празна осим низа 1 који дијагонално тече низ матрицу. „Дет“ се односи на одредницу матрице која за општу матрицу:

(а б)

А = (ц д)

Даје

дет А = ад –бц

Значи карактеристична једначина значи:

(а - λ б)

дет (А – λЈа) = (ц д - λ) = (а - λ) (д - λ) - бц = 0

Као пример матрице, дефинишите А као што:

( 0 1 )

А = (−2 −3 )

Дакле, то значи:

дет (А – λЈа) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Решења за λ су својствене вредности, а ви то решавате као било коју квадратну једначину. Решења су λ = - 1 и λ = - 2.

Савети

Проналажење сопствених вектора

Проналажење сопствених вектора је сличан процес. Кориштење једначине:

(А – λ) ∙ в = 0

са сваким својственим вредностима које сте заузврат пронашли. Ово значи:

(а - λ б) (в₁ ) (а - λ) в₁ + б в₂ (0)

(А – λ) ∙ в = (ц д - λ) ∙ (в₂ ) = ц в₁ + (д - λ) в₂ = (0)

То можете решити тако што ћете редом сагледати сваки ред. Потребан вам је само омјер в₁ до в₂, јер ће постојати бесконачно много потенцијалних решења за в₁ и в₂.