Садржај
Једна од важних операција у рачуници је проналазак деривата. Дериват функције се такођер назива и брзина промјене те функције. На пример, ако је к (т) положај аутомобила у било ком тренутку т, онда је дериват к, који се пише дк / дт, брзина аутомобила. Такође, дериват се може визуелизовати као нагиб линије тангенте на графу функције. На теоријском нивоу, математичари проналазе деривате. У пракси математичари користе скупове основних правила и табеле за претраживање.
Дериват као нагиб
Нагиб линије између две тачке је пораст или разлика у и вредностма подељен са трком или разлика у к вредностима. Нагиб функције и (к) за одређену вредност к је дефинисан као нагиб линије која је тангента према функцији у тачки. Да бисте израчунали нагиб, изградите линију између тачке и оближње тачке, где је х врло мали број. За ову линију, трчање или промена вредности к је х, а пораст или промена вредности и је и (к + х) - и (к). Према томе, нагиб и (к) у тачки је приближно једнак / = / х. Да бисте тачно добили нагиб, израчунавате вредност нагиба како х постаје све мањи и мањи, до „границе“ где иде на нулу. Нагиб израчунан на овај начин је изведеница и (к), која се записује као и´ (к) или ди / дк.
Дериват функције напајања
Можете користити метод нагиба / ограничења за израчунавање деривата функција где је и једнак к снагом а, или и (к) = к ^ а. На пример, ако је и једнак к куб, и (к) = к ^ 3, онда је ди / дк граница јер х иде на нулу од / х. Проширивање (к + х) ^ 3 даје / х, што се смањује на 3к ^ 2 + 3кх ^ 2 + х ^ 2 након што поделите са х. У ограничењу како х иде на нулу, сви изрази који имају х у њима такође прелазе у нулу. Значи, и '(к) = ди / дк = 3к ^ 2. То можете да урадите за вредности које нису 3, а генерално можете показати да је д / дк (к ^ а) = (а - 1) к ^ (а-1).
Дериват из серије напајања
Многе функције се могу написати као што се назива низом моћи, који су збир бескрајних бројевних израза, где је свака у облику Ц (н) к ^ н, где је к променљива, н је цео број, а Ц ( н) је специфичан број за сваку вредност н. На пример, серија снаге за синусну функцију је Син (к) = к - к ^ 3/6 + к ^ 5/120 - к ^ 7/5040 + ..., где "..." означава изразе који се настављају на до бесконачности. Ако знате низ снага за функцију, можете користити дериват снаге к ^ н да бисте израчунали дериват функције. На пример, дериват Син (к) је једнак 1 - к ^ 2/2 + к ^ 4/24 - к ^ 6/720 + ..., што се догађа као серија снаге за Цос (к).
Деривати из табела
Деривати основних функција као што су моћи попут к ^ а, експоненцијалне функције, функције дневника и триг функције, налазе се употребом нагиба / ограничења, методе серије снаге или других метода. Ови деривати су затим наведени у табелама. На пример, можете потражити да дериват Син (к) представља Цос (к). Када су сложене функције комбинација основних функција, потребна су вам посебна правила као што су правило ланца и правило производа, која су такође дата у табелама. На пример, користите ланчано правило да утврдите да је дериват Син (к ^ 2) 2кЦос (к ^ 2). Правило производа користите да бисте пронашли да је дериват кСин (к) кЦос (к) + Син (к). Помоћу табела и једноставних правила можете пронаћи дериват било које функције. Али када је функција изузетно сложена, научници понекад посежу за рачунарским програмима за помоћ.